Question

在△ABC中,内角A.B.C的对边分别是a.b.c,其中b=(根号3)÷2,tanA+tanC+tan60°=tanAtanCtan60°.

问：1）∠B的大小
2）求a+c的取值范围

Answer 1

解：

（1）

由tanA+tanC+tan(π/3)=tanAtanCtan(π/3) 
可以得出 tanA+tanC=-√3*（1-tanAtanC）
（tanA+tanC）/（1-tanAtanC）=tan(A+C)=-√3
在三角形中 tanB=-tan(A+C)=√3 

 ∴B=π/3

（2）

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
∴（a+c）/(sinA+sinC)=b/sinB=(√3/2)/(√3/2)=1
 即a+c=sinA+sinC 

∵B=π/3 

∴C=2π/3-A
a+c=sinA+sin(2π/3-A) 展开再化简
 a+c=√3sin(A+π/6)

∵A∈（0，2π/3)

∴A+π/6∈（π/6，5π/6)

∵1/2<3sin(A+π/6)≤1
∴a+c的取值范围是：（√3/2，√3]

 

Answer 2

a²-b²=√3bc
sinC=2√3sinB→2R*sinC=2R*2√3sinB→c=2√3b→c²=2√3bc

cosA=（b²+c²-a²）/（2bc）
=（c²-（a²-b²））/（2bc）
=（2√3bc-√3bc）/（2bc）
=√3/2
所以A=π/6
根据正弦定理，b/sinB=a/sinA,a=2√3，
A=π/3，B=x,b=4sinx,c/sinC=a/sinA,
c=2√3/(√3/2)*sinC=4sinC=4sin(A+B)
=4sin(π/3+x)=2√3cosx+2sinx
周长:y=a+b+c=2√3+4sinx+2√3cosx+2sinx
=2√3+6sinx+2√3cosx
0<x<2π/3,
y=2√3+2√3(√3sinx+cosx)
=2√3+4√3[sinx*cos(π/6)+cosx*sin(π/6)]
=2√3+4√3sin(x+π/6)
当sin(x+π/6)=1时函数有最大值，
y=6√3
希望能帮到你

Answer 3