Question

如何证明：若向量组 a1,...,as 可由向量组b1,...,bt 线性表示, 且 s>t, 则 a1,...,as 线性相关？

证明过程请详细一些

Answer 1

证明：由于向量组 a1,...,as 可由向量组b1,...,bt 线性表示，所以
R( a1,...,as )≤R(b1,...,bt)≤t
又s>t，得R( a1,...,as )<s
向量的个数大于向量的秩数，所以
a1,...,as 线性相关。

Answer 2

令A= a1,...,as 。B= a1,...,as ，
因为向量组 a1,...,as 可由向量组b1,...,bt 线性表示,
所以方程A=Bx有解
所以R（B）=R(B,A)
因为s>t
所以R（A）<s
所以a1,...,as 线性相关（秩小于列向量的个数）