Question

证明对任意正整数n，都有1/(n+1)<ln⁡(1+1/n)<1/n 成立

Answer 1

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Answer 2

解：构造函数f(x)=ln(1+x)-x
则f`(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)
当x>0时 有f`(x)<0
所以f(x)在（0，+∞）上是减函数
所以当1/n>0时有f(1/n)<f(0)
即ln(1+1/n)-1/n<ln(1+0)-0
即ln(1+1/n)-1/n<0
所以ln(1+1/n)<1/n
构造函数g(x)=ln(1+x)-x/(1+x)
则g`(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)
当x>0时 有g`(x)>0
所以g(x)在（0，+∞）上是增函数
所以当1/n>0时有g(1/n)>g(0)
即ln(1+1/n)-1/n/(1+1/n)>ln(1+0)-0
即ln(1+1/n)-1/(1+n)>0
所以ln(1+1/n)>1/(1+n)
综上所述1/(1+n)<ln(1+1/n)<1/n

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示