Question

高中数学复数题

1+i+i的平方+i的立方+i的四次方+ ·····+i的2010次方 =？
（不用数列的方法求就用复数的知识求，答案是i，求过程 ，谢谢!)

Answer 1

解：
i^2=-1
i^3=i*i^2=-i
i^4=(-1)^2=1
i^5=i^4*i=i
i^6=i^2=-1
i^7=i^3=-i
……
每隔4个结果将循环一次，即以4为周期
2010/4=502余数为2，而i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0，于是
1+i+i的平方+i的立方+i的四次方+ ·····+i的2010次方
=1+0+i-1
=i

Answer 2

i的4n+1次方=i
i的4n+2次方=-1
i的4n+3次方=-i
i的4n+4次方=i
2010/4=502.....2
所以上式等于 1+i-1-i+1+i-1-i.........=1+i

Answer 3

因为i的偶次方为-1且算式里奇次方的i和偶数次等于加上前面的1 互相抵消所以为i

追问

这个互相抵消的过程能不能解释一下

追答

i的奇数次方为i 偶数次方为-1 式子中从i的平方到i的2010次方一共有2009项 加上前面的1全部互相抵消

Answer 4

i=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
i^5=i
.....
1+i+i的平方+i的立方+i的四次方+ ·····+i的2010次方
=1+502(i+i的平方+i的立方+i的四次方)+i^2009+i^2010
=1+502x0+i^2009+i^2010
=1+i-1
=i