Question

已知cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=4/5,0<α<π/2<β<π 且sinα=sin(α+β),求sinβ的值

Answer 1

cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ
=cos(α+β-β)
=cosα
=4/5
因为，0<α<π/2<β<π
所以，π/2<α+β<3π/2
所以，sinα=3/5
又，sin(α+β)=sinα=3/5
所以，cos(α+β)=-4/5
sinβ
=sin(α+β-α)
=sin(α+β)cosα－cos(α+β)sinα
=(3/5)×(4/5)-(-4/5)(3/5)
=24/25
所以，sinβ的值为24/25

追问

因为，0<α<π/2<β<π
所以，π/2<α+β<3π/2
所以，sinα=3/5
这段不太理解，谢谢

追答

00
cosα=4/5
sin²α=1-cos²α=9/25
所以，sinα=3/5
π/2<α+β<3π/2
sin(α+β)=sinα=3/5
所以，cos(α+β)=-4/5

追问

是否 π/2<α+β<3π/2
所以，cos(α+β)=-4/5 为负，谢谢

追答

是的，余弦值在二、三象限为负

Answer 2

cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ
=cos(α+β-β)
=cosα
=4/5
sin²α=1-cos²α=1-16/25=9/25
因为 0<α<π/2 (α为锐角，在第一象限)， 所以 sinα=√9/25=3/5
sin(α+β)=sinα=3/5 cos²(α+β)=1-sin²(α+β)=1-9/25=19/25
因为 0<α<π/2<β<π 所以 π/2<α+β<3π/2 (α+β为第二或第三象限角)
所以 cos(α+β)=-4/5
sinβ=sin(α+β-α)
=sin(α+β)cosα－cos(α+β)sinα
=(3/5)(4/5)-(-4/5)(3/5)
=24/25