Question

已知向量OB=(1,1)向量OC=(2,2)向量CA=(根号2cosx,根号2sinx)若f（x）=向量OA×向量OB。

1、求f（x）的表达式
2、求f（x）单调增区间
3、若x∈[0,π/2]求f（x）的取值范围

Answer 1

1、向量OA=向量OC+向量CA=(2,2)+(√2 cosx,√2 sinx)=(2+√2 cosx,2+√2 sinx)

f（x）=向量OA×向量OB
=(2+√2 cosx,2+√2 sinx) *(1,1)
=2+√2 cosx+2+√2 sinx
=4+√2 cosx+√2 sinx
=4+2 sin(x+π/4)

2、sinx在（- π/2+2kπ，π/2+ 2kπ] 上递增
- π/2+2kπ<x+π/4 ＝< π/2+ 2kπ
- 3π/4+2kπ<x＝< π/4 + 2kπ

f（x）单调增区间为：（ - 3π/4+2kπ， π/4 + 2kπ]

3、f（x）单调增区间为：（ - 3π/4+2kπ， π/4 + 2kπ]
x∈[0,π/2]
x＝0或π/2，f（x）取最小值，
＝4+2 sin(x+π/4)
＝4+2 *√2/2
=4+√2

x＝π/4，f（x）取最大值，
＝4+2 sin(x+π/4)
＝4+2 *1
=6

f（x）的取值范围[4+√2 ， 6]