Question

如图，Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC为直径作圆O交AB于D，AC、DO的延长线交于E，点M为

如图，Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC为直径作圆O交AB于D，AC、DO的延长线交于E，点M为线段AC上一点，且CM=4
（1）求证：直线DM是圆O的切线
（2）求tan∠E的值

Answer 1

连接CD和OM，因为BC是直径，所以三角形BDC和ADC是直角三角形，且O是BC的中点，则
OD=OB=OC=3,AC=8,AM=4,DM=CM=AM=4,OM=5 根据勾股定理OM^2=OD^2+DM^2
所以OD垂直于DM，所以直线DM是圆O的切线

Answer 2

△∵∴√⊥∥∠≌∽°

辅助线：圆心标注为O；连接OM，CD；OM，CD交点为F；

（1）

∵∠ACB=90°，BC=6，AB=10；

∴AC=8（勾股定理）

∴所以△ABC三边长从短到长顺序之比为3：4：5

∵O是BC中点，M是AC中点；

∴OM∥AB，且OM=1/2AB=5

∵BC是直径，其所对圆周角∠BDC=90°

∴CD⊥AB，CD⊥OM

在直角△ACD中，M是斜边的中点，DM=1/2AC=CM=AM=4

在△ODM和△OCM中：

OM是公共边，OC=OD，CM=DM

∴△ODM≌△OCM

∴OD⊥DM

∴直线DM是圆O的切线

（2）tan∠E

根据定理，tan∠E即对边比斜边；那么在直角△EOC中，OC是半径为3，我们再来求一下EC

上面我们已经证明了△ABC三边比为3：4：5

而直角△CDB，△CDA均和直角△ABC各有一个公共角，

所以它们都是相似的，三边比均符合3：4：5

即可求出：BD=3.6；CD=4.8；AD=6.4；

∵OM∥AB

∴△EOM∽△EDA

∴EM/EA=OM/DA

已知：OM/DA=5/6.4；EA=EM+4；代入上式中，即可求EM=100/7，

EC=EM-4=100/7-4=72/7

tan∠E=OC/EC=3*  7/72=7/24

Answer 3

呵呵，你的几何太垃圾了，直接套公式啊，像这种问题都是套公式一步一步解出来！

Answer 4

tan∠E=3/4