Question

一道高一数学题，急等。。。

下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是
A.sin^2A+sin^2B<sin^2C
B.b=3,c=3√3，B=30°
C.a>b>c,2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC
D.tanA+tanB+tanC>0

Answer 1

根据正切和角公式，tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB),
tan(A+B)=tan(180°-C)=-tanC,
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,
tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC,
若三角形有一个为钝角，必有一个值为负值，tanA*tanB*tanC〈0，
若三角形有一个为直角，则tanA*tanB*tanC无意义，若〈C=90度，tanC无意义，
当tanA*tanB*tanC〉0时三个角为锐角，
故tanA+tanB+tanC>0时，为锐角三角形。选D

Answer 2

A.(sina)²+(sinb)²=(sinc)²
=[sin(180°-a-b)]²
=[sin(a+b)]²
=(sinacosb+cosasinb)²
(sina)²+(sinb)²=(sina)²(cosb)²+(cosa)²(sinb)²
(sina)²(cosb)²+(cosa)²(sinb)²-(sina)²-(sinb)²=0
(sina)²[(cosb)²-1]+(sinb)²[(cosa)²-1]=0
(sina)²(sinb)²=0
sina=0或sinb=0
a=90°或b=90°
三角形为直角三角形。

B.b/sin30°=c/sinC，得到sinC=√3/2，C=60°或120°。
∴A=90°或30°

C.2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC
由正弦定理得：
2a^2=(2a+c)b+(2c+)c
a^2 = ab+bc+c^2
a^2-c^2 = ab+bc= b(a+c)
(a+c)(a-c) = b(a+c)
因为a+c≠0
所以(a-c) = b
a = b+c
由余弦定理得：
cosA= ( b^2+c^2-a^2)/(2bc)
= -1
A=0°或者180°

D.根据正切和角公式，tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB),
tan(A+B)=tan(180°-C)=-tanC,
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,
tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC,
若三角形有一个为钝角，必有一个值为负值，tanA*tanB*tanC〈0，
若三角形有一个为直角，则tanA*tanB*tanC无意义，若〈C=90度，tanC无意义，
当tanA*tanB*tanC〉0时三个角为锐角，
故tanA+tanB+tanC>0时，为锐角三角形。

所以选D