Question

已知函数f(x=x+a^2/x,g(x)=lnx.其中a>0 )若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值

(2)若对任意的x1 x2属于【1，e】都有F（x1>=g（x2）成立，求实数a的取值范围
g（x）=x+lnx

Answer 1

解：1)由题，可知
f‘(x)=-a²/x²+1，g’(x)=1/x
∴h‘(x)=f'(x)+g'(x)=-a²/x²+1/x+1
又x=1是函数h(x)的极值点
∴h’(x)=-a²+2=0
∴a=√2或a=-√2
经检验，a=√2或a=-√2均符合题意。
2)易知，当x∈[1,e]时
g(x)=lnx∈[0,1]
又f(x)≥g(x)
∴f(x)≥g(x)max=1
即x+a²/x≥1
由基本不等式，有
x+a²/x≥2√(x·a²/x)=2lal
∴2lal≥1
a≤1/2或a≥-1/2
即a∈(-∞，1/2]∪[1/2，+∞)

追问

不不不，我写错了g（x）是lnx+x

追答

吐血。。
解：1)由题，可知
f‘(x)=-a²/x²+1，g’(x)=1/x+1
∴h‘(x)=f'(x)+g'(x)=-a²/x²+1/x+2
又x=1是函数h(x)的极值点
∴h’(x)=-a²+3=0
∴a=√3或a=-√3(舍去)
经检验，a=√3符合题意。
2)由题f(x)min≥g(x)max
①易知g(x)是单调递增函数，有
g(x)max=g(e)=e+1
②对f(x)，f’(x)=-a²/x²+1，又x∈[1,e]
当0＜a＜1时，f‘(x)＞0，f(x)单增
∴f(x)min=f(1)=-a²+1
∴-a²+1≥e+1
此不等式无解，舍去。
当1≤a≤e时，有极小值x=a
∴f(x)min=f(a)=2a
∴2a≥e+1，a≥(e+1)/2
∴(e+1)/2≤a≤e
当a＞e时，f’(x)＜0，f(x)单减
∴f(x)min=f(e)=e+a²/e
∴e+a²/e≥e+1
∴a≥e或a≤-e(舍去)
∴a＞e
综上，a≥(e+1)/2

Answer 2