Question

已知函数f(x)=x,函数g(x)=rf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数

（1）若g(x)<t^2+rt+t在x∈[-1,1]上恒成立，求t的取值范围
（2）讨论关于x的方程lnx/f(x)=x^2-2ex+m的根的个数
越快越好，谢谢

Answer 1

f(x)=x, g(x)=rf(x)+sinx=rx+sinx
∵g(x)是区间[-1,1]上的减函数
∴ g'(x)=r+cosx<0 x∈[-1,1] r<=-max{cos(x)}=-1
g(x)在[-1,1]上的最大值是-r-sin1
（1）若g(x) <t^2+rt+t在x∈[-1,1]上恒成立，
即：t^2+rt+t>-r-sin1 在x∈[-1,1]上恒成立
t^2+(r+1)t+r+sin1>0
(r+1)^2-4r-4sin1>=0
r^2-2r+1>=4sin1
|r-1|>=2√sin1 r<=1-2√sin1 r=min{-1,1-2√sin1}=-1
∴ t<-(r+1)/2-√[(r+1)^2-4r-4sin1]/2=-(r+1)/2-√{[(r+1)/2]^2-r-sin1}
或 t>=-(r+1)/2+√{[(r+1)/2]^2-r-sin1} (r<-1)

追问

• 亲，还有第二问呢

追答

这题难度太大，费时太多。如果全答，你又不采纳就太亏了。你如果感兴趣，一定会追问。既然追问，就再次回答吧，万望采纳。
lnx/x-x^2+2ex-m=0
设F(x)=lnx/x-x^2+2ex-m
则：lim[x-->0+]F(x)=-∞
lim[x-->+∞](lnx-x^3+2ex^2-mx)/x
=lim[x-->+∞](1-3x^3+4ex^2-mx)/x
=-∞
F'(x)=(1-lnx)/x^2-2x+2e=0 x=e
当x0,F(x)递增；当x>e时，F'(x)0, 方程lnx/f(x)=x^2-2ex+m有两个实根；
当m=e^2+1/e时，F(e)=0, 方程lnx/f(x)=x^2-2ex+m有一个实根x=e^2+1/e；
当m>e^2+1/e时，F(e)<0, 方程lnx/f(x)=x^2-2ex+m没有实根。