Question

已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°DC=DE,F为BE的中点,求证:FA=FD,且FA⊥FD

Answer 1

由于你没附图，一般初中的题应该A、C、D三点共线，如上左图。

由F为BE中点，最直接的做法是，将△DEF绕F点旋转180°，E与B重合，D到D'位置，

旋转后，D、F、D'三点共线，△D'BF≌△DEF

由∠DEF=∠D'BF，∠DEF与∠ABF互补，故∠D'BF与∠ABF互补，A、B、D'共线

由AD=AC+CD=AB+BD'=AD'，∠BAC=90°，得△ADD'是等腰直角三角形

由DF=FD'，得AF是等腰RT△ADD'斜边上的中线，故AF=DF，且AF⊥DF。

如果题目中A、C、D三点不共线，如上右图，证明过程要稍微麻烦点，但思路一样，

其间需增加证明△ACD≌△ABD'，最终也得到△ADD'是等腰RT△，AF是其斜边上的中线。

中间可能的困难点是证∠ACD=∠ABD’，可由以下得到：

∠ACD=45°+∠BCE+45°=90°+∠BCE

∠ABD‘=360°-45°-∠FBD'-∠CBF=360°-45°-(∠FED+∠CBF)=360°-45°-(45°+∠FEC+∠CBE)

           =360°-45°-(45°+180°-∠BCE)=90°+∠BCE

具体过程与前面的证明过程类似，略了，有问题再问。

Answer 2

先说明一下，本人画图不是太好，所以没有图。本人直接将角用字母标出来，希望大家耐心些，也相信大家能看懂。
证明：延长AF至G，使AF=GF。因为F是BE中点，所以BF=EF.
①BF=EF②∠BFA=∠EFG③AF=GF。由①②③可得△BFA≌△EFG，所以AB=GE，∠B=∠GEF.
因为AB=AC,所以AC=GE。∠C=180°-(∠CAD+∠CDA)=180-(360°-∠B-∠BED-90°-90°）
=∠B+∠BED
而∠B=∠GEF，所以∠C=∠GEF+∠BED=∠GED。
①AC=GE②∠C=∠GED③CD=ED，由①②③可得△ACD≌△GED.所以AD=GD。∠ADC=∠GDE
因为∠GDE+∠CDG=90°，所以∠ADC+∠CDG=90°，所以△ADG为等腰直角三角形，所以∠DAF=45°。①AF=GF②FD=FD③AD=GD，所以△ADF=△GDF，所以∠AFD=∠GFD=180除以2=90°，所以∠ADF=90°-45°=45°=∠DAF。即FA=FD，FA⊥FD.
个人将这题评价一下，思路稍稍讲解一下。本题难题中等偏上，关键在于见到中线加一倍这个数学思想和证∠C=∠GED。这两步要开动脑筋好好想想。我写的步骤很详细，大家如果在考试中可以简略一些，但是不要简掉重要内容。希望我的解答能对楼主，对大家有帮助。也祝大家学习更上一层楼！,