Question

在Rt△ABC中,角ACB=90°,O在AB上,圆O经过点A,与CB切于D,分别交AB、AC于E、F。（1）求证：sin∠B=CD/BD

（2）连CE、AD相交于P，若sinB=五分之二，求CP/EP

Answer 1

⑴∵BC为切线，∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，∴OD∥AC，
∴OA/OB=CD/BD，
在RTΔBDO中，
sin∠B=OD/OB，OD=OA，
∴sin∠B=OD/OB=OA/OB=CD/BD。
⑵∵OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD是∠CAB的平分线，
∴CP/EP=AC/AE，
sin∠B=CD/BD=2/5
∴BC/BD=7/5，
∵ΔABC∽ΔOBD，
∴AC/OD=BC/BD=7/5，
∴AC/AE=AC/(2OD)=7/10，
∴CP/EP=7/10。