Question

这题帮我瞧瞧，上一题我自己总算明白了，特解怎么设的

Answer 1

（我个人觉得特解是靠经验，因为我其实没学过解微分方程……囧）
特征方程：t^2+9=0,t=±3i
所以通解为y[1]=C1sin(3x)+C2cos(3x)
设特解为y[2]=(Ax^2+Bx)sin(3x)+(Cx^2+Dx)cos(3x)
则y'[2]=(2Ax+B)sin(3x)+(3Ax^2+3Bx)cos(3x)+(2Cx+D)cos(3x)-(3Cx^2+3Dx)sin(3x)
y''[2]=2Asin(3x)+(6Ax+3B)cos(3x)+(6Ax+3B)cos(3x)-(9Ax^2+9Bx)sin(3x)+2Ccos(3x)-(6Cx+3D)sin(3x)-(6Cx+3D)sin(3x)-(9Cx^2+9Dx)cos(3x)=(2A-9Ax^2-9Bx-6Cx-3D-6Cx-3D)sin(3x)+(6Ax+3B+6Ax+3B+2C-9Cx^2-9D)cos(3x)=(-9Ax^2-(9B+12C)x+2A-6D)sin(3x)+(-9Cx^2+12Ax+6B+2C-9D)cos(3x)
所以(-9Ax^2+9Ax^2-(9B+12C-9B)x+2A-6D)sin(3x)+(-9Cx^2+9Cx^2+(12A+9D)x+6B+2C-9D)cos(3x)=xsin(3x)
所以-12C=1
2A-6D=0
12A+9D=0
6B+2C-9D=0
所以A=0,B=1/36,C=-1/12,D=0
所以y=y[1]+y[2]=C1sin(3x)+C2cos(3x)+x/36sin(3x)-x^2/12cos(3x)

追问

y[2]=(Ax^2+Bx)sin(3x)+(Cx^2+Dx)cos(3x）
这一步怎么设，看什么情况》

追答

首先，sin和cos一般在一起，所以就都设了。然后，我本来想设成Axsin(3x)+Bxcos(3x)（常数的部分已经在通解里了），但是发现最后有问题，所以想到可能还有二次项，就那么设了……