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解:
设z=arctan(u/v),u=x+y,v=1-xy
偏z/偏x=偏z/偏u偏u/偏x+偏z/偏v偏v/偏x
=1/(1+(u/v)^2)(1/v)+(1/(1+(u/v)^2))(-u/v^2)(-y)
=v/(v^2+u^2) + uy/(u^2+v^2)
=1/(1+x^2)
①偏²z/偏x²=偏(1/(1+x^2))/偏x=-2x/(1+x^2)^2
②易知偏²z/偏x偏y=偏²z/偏y偏x=0
偏z/偏y=1/(1+x^2) (根据x与y的对称性)
③偏²z/偏y²=2y/(1+y^2)^2 (根据x与y的对称性)
设z=arctan(u/v),u=x+y,v=1-xy
偏z/偏x=偏z/偏u偏u/偏x+偏z/偏v偏v/偏x
=1/(1+(u/v)^2)(1/v)+(1/(1+(u/v)^2))(-u/v^2)(-y)
=v/(v^2+u^2) + uy/(u^2+v^2)
=1/(1+x^2)
①偏²z/偏x²=偏(1/(1+x^2))/偏x=-2x/(1+x^2)^2
②易知偏²z/偏x偏y=偏²z/偏y偏x=0
偏z/偏y=1/(1+x^2) (根据x与y的对称性)
③偏²z/偏y²=2y/(1+y^2)^2 (根据x与y的对称性)
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