Question

急急急急急求解一道数学题、、、

（1）如图，在凸四边形ABCD中，记S△ABC,S△DBC,S△MBC分别为△ABC,△DBC,△MBC的面积,试探求S△ABC、S△DBC、S△MBC之间的关系，并写出探究过程。
（2）在（1）中，若AM=2MD，那么S△ABC、S△DBC、S△MBC之间又有什么关系？
（3）若AM=kMD，试对上述问题作出探究，直接写出你的结论。

PS：不要用三角函数，用初中知识可以吗。。。急求在线等。。。。

Answer 1

 

解:

(1)

第(1)问漏了个条件吧?M应是AD的中点.

如左图,分别作AE,MF,DG垂直BC

∴AE∥MF∥DG

∴MF是梯形AEGD的中位线

 

∴2MF=(AE+DG)

S△ABC=½BC•AE

S△DBC=½BC•MF

S△MBC=½BC•DG

∴S△ABC+S△DBC=2S△MBC

(2)

如右图

a1/a2=m/(m+n)

∴2a1/a2=2m/(m+n)...①

a3/a2=(m+3n)/(m+n)...②

∴①②左右两边分别相加得

(2a1+a3)/a2=3

∴(2a1+a3)=3a2

 

∴如左图,当AM=2DM时

 

h1+2h3=3h2

 

∴S△ABC+2S△DBC=3S△MBC

 

(3)

由(2)得

当AM=kDM时

 

h1+kh3=(k+1)h2

 

∴S△ABC+kS△DBC=(k+1)S△MBC

追问

谢谢，可惜略晚了点。。。^_^

Answer 2

（1）
过A，M，D作BC的垂线，垂足分别为A1，M1，D1
那么AA1D1D是一个直角梯形
MM1是这个直角梯形的中位线
∴MM1=(AA1+DD1)/2
而△ABC,△DBC,△MBC是3个同底的三角形（底都是BC）
那么它们面积的关系就完全取决于高的关系了
∴S△MBC=（S△ABC+S△DBC）/2
(2)
当M是AD中点时,AA1，DD1在MM1中的权重都是1/2，
所以有MM1=AA1/2+DD1/2
现在M分AD的比例变了，那么AA1与DD1的权重也就变了。
当AM=2MD时，M更靠近D，所以DD1的权重大些是2/(1+2)=2/3
而AA1的权重变成了1/(1+2)=1/3
∴MM1=AA1/3+DD1*2/3
∴S△MBC=S△ABC/3+S△DBC*2/3
(3)
在（2）的基础上扩展一下就可以了
MM1=AA1/(k+1)+DD1*k/(k+1)
∴S△MBC=S△ABC/(k+1)+S△DBC*k/(k+1)

Answer 3

解：
（1）△ABC,△DBC,△MBC同底不等高，由已知四边形为凸四边形我们把△ABC,△MBC,△DBC的高记为H1,H2和H3，那么H1>H2>H3,所以有结论S△ABC>S△MBC>S△DBC.
（2）如果AM=2MD，那么可以得到2H2=H1+H3,故有结论2S△MBC=S△ABC+S△DBC
（3）当0<k<1时，H2>H1+H3,即2S△MBC>S△ABC+S△DBC
当k=1时，2S△MBC=S△ABC+S△DBC
当k>1时，2S△MBC<S△ABC+S△DBC

Answer 4

三个三角形同底
分别作AE⊥BC,DF⊥BC,MG⊥BC，垂足分别为E,F,G
1）∵AE>MG>DF
∴S△ABC>S△MBC>S△DBC
2）AM=2MD
(AE-DF):(MG-DF)=AD:MD=3
3MG=AF+2DF
3S△MBC=S△ABC+2S△DBC

3）AM=kMD
(AE-DF):(MG-DF)=AD:MD=k+1
(k+1)MG=AF+kDF
(k+1)S△MBC=S△ABC+kS△DBC

Answer 5

1)M是不是AD中点啊？ S△ABC+S△ADC=2S△BMC
2)若AM=2MD 则S△ABC+S△ADC=3S△BMC
3）AM=kMD 则S△ABC+S△ADC=（k+1）S△BMC