Question

已知函数f(x)=xlnx(1)求y=f(x)的图像在x=e^2处的切线方程(2)求f(x)的最小值

Answer 1

f'(x)=lnx+1
f(e^2)=2e^2,f'(e^2)=3
切线方程： y-2e^2=3(x-e^2),即： 3x-y-e^2=0

f(x)的定义域为x>0
f'(x)=0时，lnx+1=0, x=1/e
f''(x)=1/x+1>1
所以最小值为f(1/e)=-1/e

Answer 2

首先f(x)的定义域为(0,+∞)
(1)
f'(x)=lnx+1
令x=e²
f'(x)=3
f(x)=2e²
∴切线方程是：y=3x-e²
(2)
f'(x)在(0,1/e)上小于0，在(1/e,+∞)上大于0
故最小值在x=1/e时取得
fmin=f(1/e)=-1/e

Answer 3