Question

高数定积分证明题 求指导

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Answer 1

令F(x)=f(x)-g(x)，G(x)=∫(从a到x)F(x)dx;
G(b)=0,
且有G(a)=0。
由∫(从a到x) (f(x)-g(x) ) dx≥0得∫(从a到x) F(x) dx≥0,即G(x)≥0，-G(x)≤0
则∫(从a到x) (xf(x)-xg(x))dx
=∫(从a到x) xF(x) dx
=∫(从a到x) x dG(x)
=x·G(x)|(从a到x) - ∫(从a到x) G(x) dx
则 ∫(从a到b) (xf(x)-xg(x))dx
=[b·G(b) - a·G(a)] - ∫(从a到b) G(x) dx
=[b·G(b) - a·G(a)] - ∫(从a到b) G(x) dx
=0 - ∫(从a到b) G(x) dx
= ∫(从a到b) -G(x) dx
≤0
因此 ∫(从a到b) xf(x) dx ≤ ∫(从a到b) xg(x) dx

追问

谢谢谢谢~看懂啦~太感谢了~