Question

已知F(x)=x^3+3ax^2+bx+a^2(a>1)在x=-1时有极值0。 问：方程f（x）=c在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实

问：方程f（x）=c在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实数c的范围？

过程。急求。

Answer 1

方程根的问题会设计函数的单调性。
对于三次函数的图象，应该熟悉掌握，本题中三次方系数为正，那函数应该是先增后减再增的。
解 F'(x)=3x^2+6ax+b
由题意，x=-1是F(x)有极值
则 F'(-1)=0即3-6a+b=0
F(-1)=0 -1+3a-b+a^2=0
又a>1
解得 a=2
b=9
所以F'(x)=3x^2+12x+9
令 F'(x)=0 解得x=-1,-3
当x∈【-4，-3】时， F'(x)≥0 F(x)单调增
当x∈【-3，-1】时， F'(x)≤0 F(x)单调减
当x∈【-3，-1】时， F'(x)≥0 F(x)单调增
所以，F(x)在x=-3时取极大值4
在x=-1时取极小值0
保证有三个根，只要c介于极小值和极大值之间即可(但不能相等）
所以，0＜c＜4
希望对你有所帮助

Answer 2

f(-1)=(-1)^3+3a(-1)^2+b(-1)+a^2=-1+3a-b+a^2=a^2+3a-b-1=0 ....(1)
f'(x)=3x^2+6ax+b
f'(-1)=3(-1)^2+6a(-1)+b=3-6a+b=0, b=6a-3
代入(1): a^2+3a-6a+3-1=0, a^2-3a+2=0, (a-1)(a-2)=0, a=1 或a=2
因为 a>1, 所以 a=2, b=6a-3=12-3=9
f(x)=x^3+6x^2+9x+4=c
令g(x)=f(x)-c=x^3+6x^2+9x+4-c
g'(x)=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+1)(x+3)=0
x=-1 或 x=-3
当x<-3 或x>-1, g'(x)>0, 函数单调递增
当-3<x<-1, g'(x)<0, 函数单调递减
因此 g(x)在[-4,0]上有三个不同的实数根, 则三个根分别在区间[-4,-3],[-3,-1][-1,0]之间
即 g(-4)<=0, g(-3)>0, g(-1)<0, g(0)>=0
g(-4)=(-4)^3+6(-4)^2+9(-4)+4-c=-64+96-36+4-c=-c<=0, c>=0
g(-3)=(-3)^3+6(-3)^2+9(-3)+4-c=-27+54-27+4-c=4-c>0, c<4
g(-1)=(-1)^3+6(-1)^2+9(-1)+4-c=-1+6-9+4-c=-c<0, c>0
g(0)=4-c>=0, c<=4
所以 0<c<4