Question

在矩形abcd中，bc=4，bg与对角线ac垂直且分别交ac，ad及射线cd于点efg，ab=x，当

在矩形abcd中，bc=4，bg与对角线ac垂直且分别交ac，ad及射线cd于点efg，ab=x，当g与d重合时求x 当f为ad中点时求x和角ecf的正眩值

Answer 1

（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合，在由AC与BD垂直，利用对角线垂直的矩形为正方形，得到ABCD为正方形，由正方形的四条边相等得到AB=BC=4，可得出x的值为4；

（2）由矩形的对边相等，得到AD=BC=4，又F为AD的中点，得到AF=2，再由矩形的对边平行，得到AF与BC平行，由两直线平行得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形AEF与三角形CEB相似，且相似比为1：2，得到EC=2AE，BE=2EF，即AC=3AE，BF=3EF，在三角形ABC和三角形ABF中，分别利用勾股定理得到AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2，将各自的值代入，两等式左右两边分别相加，得到9（AE2+FE2）=2x2+20，又在直角三角形ABE中，利用勾股定理得到AE2+FE2=AB2=x2，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；由F为AD的中点，利用对称性得到BF=CF，由AF平行与BC，得到两对内错角相等，进而确定出三角形AEF与三角形BEC相似，由相似得比例，且相似比为1：2，利用锐角三角函数定义即可求出∠ECF的正弦值．