Question

已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx的两个极值点。设h(x)=f(f(x))-c,其中c属于[-2,2],求函数y=...

已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx的两个极值点。设h(x)=f(f(x))-c,其中c属于[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数

Answer 1

f(x)=x^3-3x
f[f(x)]=(x^3-3x )^3-3(x^3-3x )=(x^3-3x)[(x^3-3x )^2-3]=x(x^2-3)(x^3-3x+√3) (x^3-3x-√3)
h(x)=x(x^2-3)(x^3-3x+√3) (x^3-3x-√3) -c
当c=0时，y=h（x）的零点个数是3，分别是0，√3，-√3；
令h'(x)=0 解得：x=-1 x=1 h(1)=-2-c h(-1)=2-c
函数y=h（x）的图像是y=x(x^2-3)(x^3-3x+√3) (x^3-3x-√3)上下平移c个单位而得，
所以当c∈(-2,2)时，y=h（x）的零点个数是3，当c=-2 或 c=2时，y=h（x）的零点个数是2。

Answer 2

f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(1)=3+2a+b=0 ...(1)
f'(-1)=3-2a+b=0 ...(2)
(1)+(2): 6+2b=0, b=-3
代入(1), 2a=0, a=0
f(x)=x^3-3x
h(x)=f(f(x)-c=(f(x))^3-3f(x)-c=(x^3-3x)^3-3(x^3-3x)-c
h'(x)=3(x^3-3x)^2(3x^2-3)-3(3x^2-3)=9(x^2-1)[(x^3-3x)^2-1]
=9(x^2-1)(x^3-3x+1)(x^3-3x-1)