Question

已知函数f(x)=(ax+b)/(x²+1)是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(1/2)=2/5.

1.确定函数f(x)的解析式
2.当x∈(-1,1)时判断函数的单调性，并证明
3.解不等式f(2x-1)+f(x)<0

Answer 1

f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数则f(-x)=(-ax+b)/(x^2+1)=-f(x)

即-ax+b=-(ax+b),得b=0，f(1/2)=2/5=(a/2)/(5/4)=2a/5   a=1

f(x)=x/(x^2+1)

x∈(-1,1)时单调增

追问

3.解不等式f(2x-1)+f(x)<0

追答

将2x-1代入x/(x^2+1)中，这步有些麻烦

Answer 2

f(-x)=(b-ax)/(x²+1)=-f(x)=-(ax+b)/(x²+1)
b-ax=-ax-b, b=0
f(x)=ax/(x²+1)
f(1/2)=(a/2)/(1/4+1)=(a/2)/(5/4)=2a/5=2/3, a=1
f(x)=x/(x²+1)

f'(x)=[x(x²+1)^(-1)]'=(x²+1)^(-1)+x*(-1)*(x²+1)^(-2)*(2x)
=[(x²+1)-2x²]/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²
x∈(-1,1), 1-x²>0, f'(x)>0, f(x) 单调递增

x∈(-1,1)
-1<2x-1<1, 0<2x<2, 0<x<1
f(2x-1)+f(x)<0
f(2x-1)<-f(x)=f(-x) (f(x)是奇函数)
2x-1<-x (f(x)在(-1,1)上单调递增)
3x<1, x<1/3
所以 0<x<1/3