Question

求一道数学题

（2011•盐城）如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）

解得A(3，4)，B(7，0)，C(0，4)，直线l的解析式为x=7

当0≤t≤4时，P(0，t)，R(7-t，0)，Q(7-t，t)

直线PR解析式为y=[t/(t-7)]x+t

作AH⊥x轴，垂足H，AH交PR于M，作PN⊥AH，垂足N

则M(3，(t^2-4t)/(t-7))，N(3，t)，H(3，0)

∴AM=4-(t^2-4t)/(t-7)=(-t^2+8t-28)/(t-7)

PN=3，RH=4-t

故S△APR=S△APM+S△ARM=(1/2)AM*PN+(1/2)AM*RH=(1/2)[(-t^2+8t-28)/(t-7)]*[3+4-t]=0.5t^2-4t+14

令其等于8解得t=2或t=6，后者舍去

当4≤t≤7时，P(t-4，4)，R(7-t，0)，Q(7-t，(28-4t)/3)，作RH'⊥AC，垂足H'

则H'(7-t，4)

∴AP=7-t，RH=4

∴S△APR=(1/2)AP*RH=14-2t，令其等于8解得t=3舍去

综上所述，t=2时S△APR面积为8

（2）当0≤t≤4时，P(0，t)，R(7-t，0)，Q(7-t，t)，可见PQ//x轴

此时欲使△APQ为等腰三角形，显然只有使AP=AQ

则Q的横坐标应为(3-0)x2=6，即7-t=6得t=1

当4≤t≤7时，P(t-4，4)，R(7-t，0)，Q(7-t，(28-4t)/3)，

AP=7-t，AQ=(5t-20)/3，PQ=√[(2t-11)^2 +(4-(28-4t)/3)^2]=(√(52t^2 -524t+1345))/3

若AP=AQ则t=41/8

若AP=PQ则解得t=226/43或t=4（t=4时Q与A重合，故此情况舍去）

若AQ=PQ则解得t=5或t=7（t=7时A与P重合，故此情况舍去）

综上所述，满足要求的t为：

t=41/8

或t=226/43

或t=5