Question

奥数中的余数问题

有一列数,第一个是1,第二个是3,从第三个开始,每个都是前面两个和的个位数字,1,3,4，7,1,8,9~~，连续取2013个，使这2013个数的和最大，那么最大的和是多少

Answer 1

首先，由题目可知，设第n个数为an（n为正整数），那么an的每一项都大于0，所以连续取2013个，使这2013个数的和最大，并求最大和相当于求这个数列的前2013项和。
而这个数列具有一定的周期性，因为按此规定，a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=1,a6=8,a7=9,a8=7,a9=6,a10=3,a11=9,a12=2,a13=1,a14=3,所以从a13开始，相当于又回到了a1。所以此数列以12为周期，即a(n+12)=an，而2013除以12，商167余8，表明数列an的前2013项和s2013=(a1+a2+...+a12)*167+(a1+a2+...+a8)=(a1+a2+...+a8)*168+(a9+a10+a11+a12)*167=(1+3+4+7+1+8+9+7)*168+(6+3+9+2)*167=6720+3340=10060
所以最大和是10060
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Answer 2

我们可以推出
1 3 4 7 1 8 9 7 6 3 9 2 ……每12个数一循环 每个循环之和60
2013÷12=167…9 去掉三个连续最小的 2+1+3=6
168×60-6=10080-6=10074

Answer 3

(1+3+4+7+1+8+9+7+6+3+9+2) 这是一个循环12个数，2013/12=167余9
所以和=(1+3+4+7+1+8+9+7+6+3+9+2)*167+(7+1+8+9+7+6+3+9+2)=10074

1,3,4是连续最小的3个数，去掉