Question

设数列{an}对任意的p、q∈N*都有a(p+q)=ap+aq成立，{bn}是各项都为正数的等比数列，且b1=1,a3+b5=19,a5+b

a5+b3=9
(1)求{an}{bn}的通项公式
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn

Answer 1

解：
(1)
令q=1，p=n
a(n+1)=an+a1
a(n+1)-an=a1，为定值，数列{an}是以a1为首项，a1为公差的等差数列。
an=a1+a1(n-1)=na1
设{bn}公比为q，数列{bn}各项均为正，则首项b1>0，q>0
a3+b5=19
a5+b3=9
3a1+b1q⁴=19
5a1+b1q²=9
b1=1代入，整理，得
3a1+q⁴=19 a1=(19-q⁴)/3
5a1+q²=9 a1=(9-q²)/5
(19-q⁴)/3=(9-q²)/5
整理，得
5q⁴-3q²-68=0
(q²-4)(5q²+17)=0
q²=4或q²=-17/5(<0，舍去)
q>0 q=2
a1=(9-q²)/5=(9-4)/5=1
an=na1=n bn=b1q^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=n；数列{bn}的通项公式为bn=2^(n-1)
(2)
anbn=n×2^(n-1)
Sn=a1b1+a2b2+...+anbn=1×1+2×2+3×2²+...+n×2^(n-1)
2Sn=1×2+2×2²+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2ⁿ
Sn-2Sn=-Sn=1+2+2²+...+2^(n-1) -n×2ⁿ
=1×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2ⁿ
=(1-n)×2ⁿ-1
Sn=(n-1)×2ⁿ+1

Answer 2

（1）a(p+q)=ap+aq，令P=1,q=n
a(n+1)=a1+an
a(n+1)-an=a1

题目是不是缺少一个已知数，一般a1应该已知

追问

没有没有，两等式就是给你求a1和q的说

追答

a1=b1=1