Question

过抛物线y^2=2px(p大于0)的焦点,做一条直线交抛物线于A,B两点,以AB为直径的圆与抛物线的准线切于点

（-2，-2），求1.抛物线的方程2.直线AB的方程3.圆的方程

Answer 1

1)　y^2= 2px 的准线方程是 x = -p/2

由条件知 点（-2, -2）在准线上，故 -p/2 = -2 ，所以 p = 4
所以 抛物线的方程是 y^2= 8x
2)　从而抛物线的焦点为 F(2, 0)
设直线方程为 y = k(x-2) ， 即 x = y/k + 2
与抛物线方程 y^2 = 8x 联立，消去 x ， 得 y^2- (8/k)y - 16 = 0
由韦达定理可得 AB 的中点 M 的纵坐标为 4/k
半径 MC 垂直于准线于点 C(-2，-2)
所以 M、C 的纵坐标应该相等， 即 4/k = -2 ， 所以 k = -2
所以 直线 AB 的方程是 y = -2(x-2)　即 2x + y - 4 = 0
3) 从而圆心纵坐标为 -2 ， 代入 2x + y - 4 = 0 得 横坐标为 3
即 M(3，-2)
所以 半径 |MC| = 3-(-2) = 5
所以 圆的方程为 (x-3)^2+ (y+2)^2 = 25
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