Question

△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中cosA:cosB=b:a ①若a=2，b=根号3，求边c ②若sinc=cosA，求∠C

Answer 1

根据正弦定理，a/sinA=b/sinB
所以b/a=sinB/sinA

根据条件，cosA/cosB=b/a

所以cosA/cosB=sinB/sinA
即sinAcosA=sinBcosB
所以sin2A=sin2B

因为A,B∈(0,π)
所以2A=2B或π-2A=2B
即A=B或A+B=π/2

所以符合条件的△ABC有两种：
情况1：△ABC是等腰三角形（a、b是两腰）
情况2：△ABC是直角三角形（∠C是直角）

（1）
因为a≠b，情况1不成立
所以△ABC是直角三角形（∠C是直角）
所以c=√(a²+b²)=√7

（2）
因为A∈(0,π)
所以-1<cosA<1
所以sinC=cosA≠1
所以C≠π/2，情况2不成立
所以△ABC是等腰三角形（a、b是两腰）
所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin2A=2sinAcosA
又因为sinC=cosA
所以2sinA=1
所以sinA=1/2
所以∠A=∠B=π/6
所以∠C=π-(∠A+∠B)=2π/3

Answer 2

cosA:cosB=b:a=sinB:sinA

sinAcosA=sinBcosB
sin(2A)=sin(2B)
①∵a=2，b=根号3
∴a≠b
2A+2B=180°
A+B=90°
C=90°
c=√(a²+b²)=√7
②如果A+B=90°,则sinC≠cosA
因此，A=B
A=(180°-C)/2=90°-C/2
sinC=cosA=cos(90°-C/2)=sinC/2

sinC/2(2cosC/2-1)=0
sinC/2=0(不成立),2cosC/2-1=0

cosC/2=1/2
C=120°

Answer 3

cosA:cosB=b:a=sinB:sinA
∴sinAcosA=sinBcosB
∴A=B或A+B=90º
①若a=2，b=根号3
A≠B,∴C=90º,c=√(a²+b²)=√7
②若sinc=cosA,C≠90º
sinc=sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa=2sinacosa=cosa
∴a=30º=b
c=120º