Question

已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数y=f(x^-2)的之值域

Answer 1

f(x+1)=f(x)+x+1
令x=0得：f(1)=f(0)+0+1，把f(0)=0代入得：f(1)=1
令x=1得：f(2)=f(1)+1+1，把f(1)=1代入得：f(2)=3
f(0)=0，则：令f(x)=ax²+bx
f(1)=1，f(2)=3 得：
a+b=1
4a+2b=3
解得：a=1/2，b=1/2
所以，f(x)=x²/2+x/2
令t=x^(-2)，则：t>0
则：f(x^(-2))=f(t)=t²/2+t/2 （t>0）
对称轴为：t=-1/2，当t=0时，f(t)有最小值0
所以，值域为（0，+∞）

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

解：
f(x)是二次函数,若f(0)=0,
于是可以设
f(x)=ax²+bx
还有f(x+1)=f(x)+x+1
也就是
a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+x+1
化简就是
(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1
于是各项对应相等，即
2a+b=b+1
a+b=1
于是a=1/2,b=1/2
从而
f(x）=x²/2+x/2
于是y=f(x^-2)=（x^-2）²/2+x^-2/2=1/2×（1/x^4+1/x²）
因为x≠0
于是1/x²>0
令1/x²=t
于是y=t²+t,其中t>0
显然y>0
也就是函数y=f(x^-2)的之值域是y>0

Answer 3

解：
设f(x)=ax²+bx+c，则：
f(0)=c=0
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=ax²+(2a+b)x+a+b+c
f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+c+1
因此：
ax²+(2a+b)x+a+b+c = ax²+(b+1)x+c+1
因此：
2a+b=b+1
a+b+c=c+1
解得：
a=1/2
b=1/2
∴
f(x)=(1/2)x²+x/2
f(1/x²)=(1/2)(1/x^4)+1/2x²
=(1/2)(1/x^4 +1/x²+1/4 - 1/4)
=(1/2)(1/x² + 1/2)² - 1/8
因此：
f(1/x²) ∈(-1/8，0)U(0，+∞)

Answer 4

解由f(0)=0
设y=ax²+bx
则f(x+1)=a（x+1)²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b
而f(x)+x+1=ax²+（b+1）x+1
即2a+b=b+1，a+b=1
即a=1/2,b=1/2
即f（x）=1/2x²+1/2x
令t=x^(-2)，则t＞0
即y=f(x^-2)=f（t）=1/2t²+1/2t=1/2(t+1/2)²-1/8≥-1/8