Question

如图，在正方形ABCD中

如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M

Answer 1

　　如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=3√ 2，则MN的长为5 √2
　　1、在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
　　∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）
　　∴BE=EG =4 ∠BAE=∠GAE
　　在Rt△ADF和Rt△AGF中，AD=AG，AF=AF，
　　∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL）
　　∴DF=GF=6 ∠GAF=∠DAF
　　∴∠EAF=1 /2 ∠BAD=45°
　　2、将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH
　　∵∠BAM=∠DAH ∠BAM+∠DAN=45°
　　∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°
　　∴∠HAN=∠MAN
　　又∵AM=AH AN=AN
　　∴△AMN≌△AHN
　　∴MN=HN
　　∵∠BAD=90° AB=AD
　　∴∠ABD=∠ADB=45°
　　∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°
　　∴NH²=ND²+DH²
　　∴MN²=ND²+DH²
　　∴MN²=ND²+BM²
　　3、设AG=x 则CE=x-4 CF=x-6．
　　在Rt△CEF中
　　∵CE²+CF²=EF²
　　∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
　　解这个方程得x1=12 x2=-2（舍去负根）
　　即AG=12
　　∴BD= √（AB²+AD²） = √2AG²=12 √2
　　∵MN²=ND²+BM²
　　MN²=(12√ 2 -3√ 2 -MN)²+(3 √2 )²
　　∴MN=5√ 2