Question

1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2＜1-1/n(n≥2，n∈N）用数学归纳法证明不等式

Answer 1

证明：当n=2时，左边=1/2^2=1/4，右边=1-1/2=1/2，左边<右边，成立
假设当n=k时，1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<1-1/k
当n=k+1时，左边=1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2
<1-1/k+1/(k+1)^2
=[1-1/(k+1)]+[1/(k+1)-1/k+1/(k+1)^2]
=[1-1/(k+1)]+(k^2+k-k^2-2k-1+k)/k(k+1)^2
=[1-1/(k+1)]-1/k(k+1)^2
<1-1/(k+1)
=右边
所以根据数学归纳法，原不等式成立

Answer 2

1/2^2<1/1*2=1-1/2
1/3^2<1/2*3=1/2-1/3
.........
1/n^2<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
左右全部相加
原式左边<1-1/n

即有1/2^2+1/3^2+1/4^2+......+1/n^2<1-1/n

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Answer 3

当n=2时，左边=1/2^2=1/4，右边=1-1/2=1/2，左边<右边，成立
假设当n=k时，1/2^2+1/3^2+...+1/k^2<1-1/k
当n=k+1时，左边=1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2
<1-1/k+1/(k+1)^2
=[1-1/(k+1)]+[1/(k+1)-1/k+1/(k+1)^2]
=[1-1/(k+1)]+(k^2+k-k^2-2k-1+k)/k(k+1)^2
=[1-1/(k+1)]-1/k(k+1)^2
<1-1/(k+1)
=右边