Question

数学问题，求极限

6.7题，写下过程，谢谢

Answer 1

Answer 2

6 .利用泰勒级数展开arcsinx=x+x^3/6+o(x^3); sinx=x+o(x^3)：
极限为x-(x+x^3/6) /x^3=-1/6;关于arcsinx的展开如果不懂可以参考下面的资料
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aa97729010009dw.html

7.极限=1：
当x趋向正无穷时，arctanx趋向于pi/2;此时极限=(e^x-x)/(e^x+x)=(1-x/e^x)/(1+x/e^x)=1;
当x趋向负无穷时，arctanx趋向于-pi/2;此时极限=(e^x+x)/(e^x+x)=1

Answer 3

(1)、
lim(x→0)(x-arcsinx)/sin³x
首先无穷小量替换：sin³x 等价于x³
原式= lim(x→0)(x-arcsinx)/ x³
然后观察是0/0型，用洛必达法则有：
1/√(1-x²)；
原式= lim(x→0)(1-1/√(1-x²))/ 3x²
化简得：
原式= (√(1-x²)-1)/( √(1-x²)*3x²) [代入x=0]
= (√(1-x²)-1)/ 3x²
依旧发现是0/0型，用洛必达法则有：
原式= (﹣x/√(1-x²))/6x
=﹣1/(6√(1-x²))
=﹣1/6
(2)、
lim(x→∞)(e^x －2/π*arctanx)/( e^x + x)
= lim(x→∞) e^x/( e^x + x) －lim(x→∞) 2/π*arctanx/( e^x + x)
lim(x→∞) e^x/( e^x + x)=1(洛必达法则)
lim(x→∞) 2/π*arctanx/( e^x + x)= lim(x→∞)1/ lim(x→∞) ( e^x + x)=0 (分母无穷大，极限为0)
所以原式=1-0=1

Answer 4

（6）使用洛比达法则，分子分母求导，然后把分子同分，并将同分后的分母与原始分母合并，接着上下同乘以1+根号下1-x^2,然后分母只剩-x^2,利用两个重要极限，得到-1/6

Answer 5

解决方法很多，说一个最简单的

也可以用泰勒公式和换元转化，不过很复杂

Answer 6

等价无穷小代换。这里省去详细过程