Question

行列式，这个式子有什么意义，代表了什么，符号是怎么确定的？

我说的意义除了代表什么还有它的用途。我知道符号是由行标和列表的逆序数确定的，我问的是为什么是这样确定的。总之，我就是想知道这东西的本来面貌，本质。作为对知识分子的尊敬，悬赏100。

Answer 1

解：

       楼下引用的百度百科中，对于行列式的起源与发展给出了一个较为完整的说明；下面我从理解它的角度给出一点推导，希望对你有所帮助。

       行列式是一种数学运算符号，是在求解线性方程组的过程中，对一些有规律的综合算式给出的在形式有一定规则的定义。首先以二元一次方程组为例，二元一次方程组的一般形式为：

       a1 *x + b1 *y = c1;   (1)

       a2 *x + b2 *y = c2;   (2)

利用消元法，(1)*b2 - (2)*b1 可以得到：

       ( a1*b2 - a2*b1)x = (c1*b2 - c2 * b1)

==> x = (c1*b2 - c2 *b1)/(a1*b2 - a2*b1) 

 同理可以得到：

      y = (c1 *a2 - c2 *a1 )/ (a1*b2 - a2*b1)

 

如果我们把方程组的系数提取出来摆放好，就是：

   a1  b1

   a2  b2

不难发现x,y分母的表达式就是两对角线的数相乘之后再相减的结果；

   a1 b2所在的对角线称作主对角线，两项的积前面加正号；a2 b1所在的对角线称作副对角线，两项的积前面加负号，然后二者求和。我们把4个数的这种运算规则用一个数学符号来表示，就是行列式| |，然后把参与运算的4个数按照他们在方程组中的位置摆放在行列式内，这就是2x2行列式的数学意义。

现在，二元一次方程组的解可以改写为：

       | c1  b1|                            | a1  c1| 

       | c2  b2|                            | a2  c2|

x=  -------------        ；     y = ---------------

       | a1  b1|                           | a1  b1|

       | a2  b2|                           | a2  b2|

可以看出，x，y的解的分子部分，就是用常数项代替系数行列中对应的x，y系数项后构成的行列式的值；行列式形式不仅很好的对应了方程本身的书写形式，而且解的形式也便于记忆，对于多变量线性方程更是如此。

下面我简略的说一下三元线性方程组中，行列式的形式上的变化：

二元一次方程组的一般形势为：

       a1 *x + b1 *y + c1 * z = d1  (1)

       a2 *x + b2 *y + c2 *z = d2  (2)

       a3 *x + b3 *y + c3 *z = d3  (3)

 

通过消元法，首先利用第三式消去z项，(1)*c3 –(3)*c1，(2)*c3 - (3)*c2得到：

(a1c3 – a3c1)*x + (b1c3 - b3c1)*y = (d1c3-d3c1)  -- (4)

(a2c3 – a3c2)*x + (b2c3 - b3c2)*y = (d2c3-d3c2)  -- (5)

利用二元一次方程组的结果可解出x：

 

 

       可以看出x的解，分子就是用常数项取代系数行列中x的对应系数构成的行列式的值。

三阶行列式已经具备高阶行列式的一般性质，通常利用三阶行列式研究行列是的一般性质。对于行列式展开式每一项的符号利用行列标号的逆序数来表示，应该这么理解，展开式的每一项的正负是由线性方程组的求解过程决定的，就像（6）式中的x表达式，分子分母每一项的正负已经确定，用行列逆序确定正负只是多年来对于正负号与行列标号之间的关系规律的总结，你需要牢牢地记住它。如果想探究一下，你可以从(6)式中三节行列式与二阶行列式的关系验证一下书中的结论。

                                   祝你学习进步！

Answer 2

行列式本来就是为了解n元一次方程组而引入的。行列式本质上是一个数。

Answer 3

【说也说不清。制作一个图片看看有没有用】

追问

也就是说行列式就是为了解线性方程组，但符号为什么是由行标和列标的逆序数确定的呢？

追答

Sorry！这个我可说不清了。我只知道使用公式。

Answer 4

一般你毕业后不当老师就用不到，但还是多接触些好，你的思维认识很更全面

Answer 5

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。[1]其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
百度百科http://baike.baidu.com/view/111348.htm

追问

我大一刚学行列式，学了总觉得没什么用也不知道它怎么来的，你上面写这些太高深了，我看不懂。也许以后学到一定阶段就能懂了。先谢谢了。