多元函数极值问题，要是分别对x,y求偏导，令偏导等于0后不能直接求出驻点怎么办？具体看下图吧
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1.降维法：可以构造函数：若求max{u(x,y,z)}也就等价于求max{v（x,y,z）}(因为平方运算不改变单调性，所以要求min也是同理),v=x^2+y^2+z^2;
将（x-y）^2-1=z^2带入到v中得出一个二维的函数，就转化成了求二元函数求极值的问题，你先求稳定点在用Hesse矩阵判断，后续步骤不讲了，自己算应该没问题。。。
2.升维法：同样也需要构造函数：若求max{u(x,y,z)}也就等价于求max{v（x,y,z）}(因为平方运算不改变单调性，所以要求min也是同理),v=x^2+y^2+z^2;
此时采用构造lagrange函数的方法，构造L（x,y,z,λ）=x^2+y^2+z^2+λψ((x-y)^-z^2+1)=0此函数比原函数高一维故为“升维法”。
求出Lx=0，Ly=0，Lz=0，Lλ=0，解出x,y,z,λ就可以顺利得出极值点，但是别忘了要验证，因为构造出的lagrange函数求出的极值点仅仅为必要条件，非充分条件。
综上所述，两种方法各有所长，看看你怎么灵活运用了。。。
将（x-y）^2-1=z^2带入到v中得出一个二维的函数，就转化成了求二元函数求极值的问题，你先求稳定点在用Hesse矩阵判断，后续步骤不讲了，自己算应该没问题。。。
2.升维法：同样也需要构造函数：若求max{u(x,y,z)}也就等价于求max{v（x,y,z）}(因为平方运算不改变单调性，所以要求min也是同理),v=x^2+y^2+z^2;
此时采用构造lagrange函数的方法，构造L（x,y,z,λ）=x^2+y^2+z^2+λψ((x-y)^-z^2+1)=0此函数比原函数高一维故为“升维法”。
求出Lx=0，Ly=0，Lz=0，Lλ=0，解出x,y,z,λ就可以顺利得出极值点，但是别忘了要验证，因为构造出的lagrange函数求出的极值点仅仅为必要条件，非充分条件。
综上所述，两种方法各有所长，看看你怎么灵活运用了。。。
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