Question

求定积分∫<-1,1>(x^6)/(√1-x^2)dx=

要详细过程

Answer 1

求定积分【-1，1】∫(x⁶)/(√1-x²)dx=

解：被积函数是偶函数。
故原式=【0，1】2∫(x⁶)/(√1-x²)dx【令x=sinu，dx=cosudu；x=0时u=0；x=1时u=π/2】
=【0，π/2】2∫sin⁶ucos²udu=【0，π/2】2∫sin⁶u(1-sin²u)du=【0，π/2】2[∫sin⁶udu-∫sin⁸udu]
=【0，π/2】2[∫sin⁶udu+(sin⁷ucosu)/8-(7/8)∫sin⁶udu]=【0，π/2】2[(1/8)∫sin⁶udu+(sin⁷ucosu)/8]
=【0，π/2】(1/4)∫sin⁶udu=【0，π/2】(1/4)[-(sin⁵ucosu)/6+(5/6)∫sin⁴udu]
=【0，π/2】(5/24)∫sin⁴udu=【0，π/2】(5/24)[-(sin³ucosu)/4+(3/4)∫sin²udu]
=【0，π/2】(15/96)∫sin²udu=【0，π/2】(15/96)∫[(1-cos2u)/2]du
=【0，π/2】(15/96)[u-(1/2)∫cos2ud(2u)]=【0，π/2】(15/96)[u-(1/2)sin2u]
=(15/96)(π/2)=(15/192)π
【其中用了递推公式：∫sinⁿudu=-(sinⁿ⁻¹ucosu)/n+[(n-1)/n]∫sinⁿ⁻²udu】.

Answer 2

由对称性： ∫<-1,1>(x^6)/(√1-x^2)dx=2∫<0,1>(x^6)/(√1-x^2)dx
令x=sint ,dx=costdt ，代入得：
∫<-1,1>(x^6)/(√1-x^2)dx
=2∫<0,1>(x^6)/(√1-x^2)dx
=2∫<0,π/2>(sint)^6)dt
=2(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)
=5π/16