Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为"神秘数".如:4=22-02,12=42-22,20=62-42

因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？
4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²

Answer 1

解：
（1）设这两个连续偶数分别为2m，2m+2 （其中m取正整数），
则有28=(2m+2)²-(2m)²
解得m=3
于是28=8²-6²
所以28是神秘数
同理可设2012=(2m+2)²-(2m)²
化简得：2m=502
所以2012=504²-502²
所以2012是神秘数
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），
则(2k+2)²-(2k)²=4(2k+1)
所以由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数（因为4(2k+1)是4的倍数）
（3）设两个连续奇数分别是2k+1，2k-1 (k取正整数)
设两个连续偶数分别为2m，2m+2 （m取正整数），
若（2k+1)²-(2k-1)²=(2m+2)²-(2m)²
化简得：8k=4(2m+1)
即2k=2m+1
即k-m=1/2
由于k,m都是正整数，这个式子显然不成立
所以两个连续奇数的平方差不是神秘数

Answer 2

1.
28=8²-6² 2012=504²-502²
28、2012都是神秘数。
2.
(2k+2)²-(2k)²=4k²+8k+4-4k²=8k+4=4(2k+1)
包含因子4，因此是4的倍数。
3.
设两连续奇数为2k+1，2k-1

(2k+1)²-(2k-1)²=4k²+4k+1-4k²+4k-1=8k
假设8k是神秘数，令8k=(2m+2)²-(2m)²
8k=4m²+8m+4-4m²=8m+4=4(2m+1)
k=(2m+1)/2
2m+1是奇数，(2m+1)/2不是整数，因此两连续奇数的平方差不是神秘数。