Question

数学：如图，二次函数y=ax²-4x+c的图像经过坐标原点,与x轴交与点A(-4,0).（1）求二次函数解析式;

在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标。

Answer 1

同学您好：
很高兴为您解答！

分析：（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．

解：（1）由已知条件得 ｛c=0
｛a×(-4)2-4×(-4)+c=0

解得｛a=-1
｛c=0
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．所以，此二次函数的解析式为y=-x2-4x；

（2）∵点A的坐标为（-4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=1/2×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，-x2-4x=4，
解得x=-2，
所以，点P的坐标为（-2，4），
②当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4，
解得x1=-2+2√2，x2=-2-2√2，
所以，点P的坐标为（-2+2√2，-4）或（-2-2√2，-4），
综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2√2，-4）、（-2-2√2，-4）．

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．

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Answer 2

（1）
因为
过原点（0，0）
所以
c=0
所以
y=ax^2-4x
将（-4，0）代入得
a=-1
所以
y=-x^2-4x
（2）
将y=±4分别代入即可
解得
P1（-2，4）
P2（2倍根2-2，-4）
P3（2倍根2十2，-4）

（望采纳）

Answer 3

过原点，所以x=0时y=0，代入表达式 0-0+c=0, 得c=0
过（-4，0），所x=-4时，y=0 ： 16a+16+0=0，得a=-1
解析式为： y=-x²-4x
直线OA在x轴上，长=|-4-0|=4
三角形面积=8，说明高=4，也即P点纵坐标为4或-4，即
|x²+4x|=4

x²+4x=-4时，x=-2：即P点坐标（-2，4）
x²+4x=4时，x=-2±2√2,即P点坐标这（-2+2√2，4）或（-2-2√2，4）

共有3个点满足P点要求。

Answer 4

x=-4,y=0;x=0,y=0 故c=0,a=-1
P点纵坐标为4，故函数值-x²-4x=4，x=-2,P(-2,4)