Question

直线l过抛物线y²=16x的焦点且与圆(x-1)²+(y-2)²=25交于A.B两点,如果|AB|=8,那么直线l的

直线l过抛物线y²=16x的焦点且与圆(x-1)²+(y-2)²=25交于A.B两点,如果|AB|=8,那么直线l的方程为?

Answer 1

由题意可知焦点H为（4，0）

做IM⊥AB

M是AB的中点

IB=3，BM=1/2*AB=4

∴IM=3

IH=√((4-1)^2+(0-2)^2)

=√(13)

∴HM=√(13^2-3^2)=2

则有

(x-1)^2+(y-2)2=3^2

(x-4)^2+y^2=2^2

∴3x-2y=8

x=(2y+8)/3

代入

((2y+8)/3-4)^2+y^2=4

13y^2-16y-20=0

(13y+10)(y-2)=0

y1=-10/13

x1=28/13

y2=2

x2=4

即

M1(28/13,-10/13)

M2(4,2)

 

 直线AB就是直线MH，

设M1H的直线方程为

y=kx+b

0=4k+b

-10/13=28/13*k+b

k=5/12, b=-5/3

∴y=5/12*x-5/3

M2H的直线方程为

x=4

 

 

Answer 2

解：依题意知p=8 所以p/2=4 设直线斜率为k 则直线方程为y-0=k(x-4)也即是kx-y-4k=0

|AB|=8 所以|AB|/2=4 半径为5 所以直线到圆心的距离为d=√5^2-4^2=3

所以|k-2-4k|/√k^2+1=3 解得k=5/12 也即是直线方程为5x-12-20=0

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