Question

关于n阶导数问题

1.设f（x）=xlnx，证明f（n）（x）=(-1)^n(n-2)!/x^(n-1)

2.已知y=（x^2-1)^n,在利用（x^2-1)dy/dx-2nxy=0的情况下,证明：（x^2-1)y(n+2)+2xy(n+1)-n(n+1)y(n)=0。

过程不太会算，求各位提供详细步骤，感谢！！！用了哪些公式也麻烦说说，有的话.

(两题中的（n）是指n阶导数)。

Answer 1

关于乘积的n阶导数，一般可以考虑莱布尼兹高阶导数公式：
1.(xlnx)的n阶导数
=x(lnx)^(n)+n(lnx)^(n-1)
=x(-1)^(n-1)*(n-1)!/x^n+(-1)^(n-2)*n(n-2)!/x^(n-1)
=(-1)^n*(n-2)!/x^(n-1)

2.(x^2-1)y'-2nxy=0, 再求n+1阶导数：
0=[(x^2-1)y']^(n+1)-2n(xy)^(n+1)
=(x^2-1)y^(n+2)+(n+1)(2x)y^(n+1)+n(n+1)y^(n)-2n[xy^(n+1)+(n+1)y^(n)]
=(x^2-1)y^(n+2)+2xy^(n+1)-n(n+1)y^(n)

追问

第二题第3步开始不太明白，(x^2-1)y^(n+2)是y'的次数加上（n+1）吗？此外，后面（n+1)(2x)y^(n+1)+n(n+1)y^(n) 和xy^(n+1)+(n+1)y^(n)这两个又是怎么来的，你所说的求n+1阶导数指的是对y求，还是对整个方程求呢？

追答

用的莱布尼兹公式，对(x^2-1)y'-2nxy=0求n+1阶导数
(uv)^(n+1)=uv^(n+1)+(n+1)u'v^(n)+(1/2)n(n+1)u''v^(n-1)+........
u=x^2-1,v=y' 代入：(注意：u'''=0)
可以求出(x^2-1)y'的n+1阶导数=(x^2-1)y^(n+2)+(n+1)(2x)y^(n+1)+n(n+1)y^(n)

u=x，v=y，代入：(注意：u''=0)
可以求出xy的的n+1阶导数=[xy^(n+1)+(n+1)y^(n)]

Answer 2

第一个，先进行一次导数，得出的结果就有公式可以运用了，就是1/(x-1)的n阶导数公式（不知道楼主学过高等数学没，高等数学上有的），公式证明的话，数学归纳法就好了。

第二个，我没有算，楼主可以试一下数学归纳法，不过注意利用（x^2-1)dy/dx-2nxy=0进行替换。