Question

微分方程y'+[e^(-x)-1]y=1的通解为e^x(1+ce^-x)要过程

Answer 1

y'+[e^(-x)-1]y=0 的通解
y=C e^(∫(1-e^(-x))dx=Ce^(x+e^(-x))
y'+[e^(-x)-1]y=1有特解：y=e^x
微分方程y'+[e^(-x)-1]y=1的通解为
y=Ce^(x+e^(-x))+e^x=e^x[1+Ce^(e^(-x)]

也可用一阶线性微分方程的通解公式求解。

Answer 2

一阶微分方程，还是【算】容易的
y'+[e^(-x)-1]y=1

通解是 y'+[e^(-x)-1]y=0 的解
dy/dx=-[e^(-x)-1]y
dy/y=-[e^(-x)-1]dx

两边取不定积分
∫dy/y=∫-[e^(-x)-1]dx

lny=∫-[e^(-x)-1]dx=∫-e^(-x)dx+∫dx=e^(-x)+x+c
y=e^[e^(-x)+x+c]=ce^[e^(-x)+x]

通解为e^x(1+ce^-x) 是不【正确】的