Question

已知函数f（x）=x-a/x-2-（a+1）lnx（a＜1） （I）讨论函数f（x）的单调性 （II

已知函数f（x）=x-a/x-2-（a+1）lnx（a＜1）
（I）讨论函数f（x）的单调性
（II）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）） 处的切线与直线x+y-3=0垂直，试证明：对任意x＞0,e x-1次方·f（x）≥x

Answer 1

（1）定义域为 x>0
f'(x)= 1+a/x^2 - (a+1)/x= (1/x^2)(x^2-(a+1)x+a)=(x-1)(x-a)/x^2
f'(x)=0 → x=1, x=a ∵a<1
∴ x>1时 f‘(x)>0, f(x)增
0<a<x<1时 f‘(x)<0, f(x)减
0<x<a时， f‘(x)>0, f(x)增

（2）x+y-3=0 斜率为-1，切线与之垂直，说明切线斜率为1，(斜率之积为-1)
在(2, f(2))处切线斜率为 f'(2)=(2-a)/4=1 a=-2
∴f(x)=x+2/x-2+lnx
∵f(x) 在x>1时为增，在0<<x<1时为减
所以在x=1处取得最小值 即f(x)>=f(1)=1
∴e^(x-1)f(x)>=e^(x-1)
下面证明e^(x-1)>=x即可
令 g(x)=e^(x-1)-x
g‘(x)=x-1-1=0→x=2
∴g(x)在x=2处取得最小值 即g(x)>=g(2)=e-2>0（e≈2.718)
所以 g(x)>0恒成立
所以e^(x-1)>x恒成立
所以e^(x-1)f(x)>x恒成立
得证

追问

第二问呢？