Question

若某向量组的任何一个部分组都线性无关则该向量组线性无关吗?　请给出证明

不好意思我不怎么灵活，还是没怎么看懂您给出的定理，那个定理4.4是什么？ 还有就是这个定理说明了什么？ 我开始那个问题的意思是：一个n阶矩阵有n个特征值，其中k1,k2,k3.....kr这r个是各不相等的，kr+1,kr+2......kn这n-r个是n-r重根，当这个n阶矩阵可对角化的时候，就只需要使这n-r个相同的特征值对应的n-r个特征向量线性无关即可。 我知道一个n阶矩阵要对角化需要有n个线性无关的特征向量，如果我使这些重根对应的特征向量线性无关，根据各不相等的特征值对应的特征向量线性无关我可以知道k1,k2,.....,kr,kr+1(或者kr+2,kr+3....kn,因为他们相等），所对应的特征向量是线性无关的，又有重根对应的特征向量也是线性无关的，那我最多也只能推断出所有特征向量组成的向量组里任何部分组是线性无关的，而不知道所有n个特征向量是否线性无关。

Answer 1

不一定

反例:  (1,0), (0,1), (1,1)

这是定理.

追问

请看新的问题补充

我刚刚从一本书上看到一个定理：n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设λi是矩阵A的ni重特征值，则A与Λ相似，当且仅当R(A-λiE)=n-ni时成立。 我想这个定理可以解释我的问题，那些不相等的每个特征值恰有一个线性无关的特征向量，而那些重根只要有与重数相等的线性无关的特征向量就可以使矩阵可对角化了！

追答

是的.

定理4.4说的是: 属于不同特征值的特征向量线性无关
定理4.5说的是: 属于不同特征值的线性无关的特征向量组成的向量组仍线性无关