Question

如图，ABC中，D为BC的中点。 1.求证 AB+AC>2AD 2.若AB=5 AC=3，求AD的取值范围

Answer 1

1）延长AD至E，使AD=DE，连结BE
∵D为BC中点
∴BD=CD
又∵AD=DE
∠BDE=∠ADC
∴△ADC≌△BDE
∴AC=BE
∵AB+BE＞AE
∴AB+AC＞2AD
（2）根据上题可得AB-AC＜2AD＜AB+AC
∴3＜2AD＜13
∴1.5＜AD＜6.5

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Answer 2

做辅助线，在点B作AC的平行线，交AD的延长线于点E
则BE∥AC，可以得到∠EBD=∠C，
因为∠BDE=∠ADC，D为BC的重点，
所以BD=BC
所以ΔBDE≌ΔCDA
所以AD=DE，AE=2AD，BE=AC
因为在ΔABE中，所以AB+BE＞AE
即AB+AC>2AD
②AD＞0，AB+AC>2AD=5+3=8
AB-AC＜2AD

所以1＜AD＜4

Answer 3

1）延长AD至E，使AD=DE，连结BE
∵D为BC中点
∴BD=CD
又∵AD=DE
∠BDE=∠ADC
∴△ADC≌△BDE
∴AC=BE
∵AB+BE＞AE
∴AB+AC＞2AD
（2）根据上题可得AB-AC＜2AD＜AB+AC
∴3＜2AD＜13
∴1.5＜AD＜6.5