Question

如图在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1CC1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC,且AB⊥BC，O为AC中点，

如图在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1CC1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC,且AB⊥BC，O为AC中点，（1）证明A1O垂直平面ABC（2）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值（3）在BC1上确定一点E，使得OE∥平面A1AB只要求能写出解题思路就行了，重点第3题，拜托。

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，
交线为AC，且A1O�6�3平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴ OB=12AC=1，
所以得： O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，3)，C(0，1，0)，C1(0，2，3)，B(1，0，0)
则有： A1C→=(0，1，-3)，AA1→=(0，1，3)，AB→=(1，1，0).

设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有 {n�6�1AA1→=0n�6�1AB→=0�6�2{y+3z=0x+y=0，
令y=1，得 x=-1，z=-33所以 n=(-1，1，-33)．
cos＜n，A1C→＞=n�6�1A1C→|n||A1C→|=217．
因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与 A1C→所成锐角互余，所以 sinθ=217．
（Ⅲ）设 E=(x0，y0，z0)，BE→=λBC1→，
即 (x0-1，y0，z0)=λ(-1，2，3)，得 {x0=1-λy0=2λz0=3λ
所以 E=(1-λ，2λ，3λ)，得 OE→=(1-λ，2λ，3λ)，
令OE∥平面A1AB，得 OE→�6�1n=0，
即-1+λ+2λ-λ=0，得 λ=12，
即存在这样的点E，E为BC1的中点．（不懂欢迎追问！

Answer 2

第四十五届世界体操锦标赛于2014年10月在中国南宁举行，