Question

已知函数f（x）=x^2+ax-Inx,a属于R

(1)若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围（2）令g（x）=f（x）-x^2，是否存在实数a当x属于（0，e】（e为自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值，若不存在，说明原因（3）当x属于（0，e】时，证明e^2x^2-(5/2)x>(x+1)Inx

Answer 1

解:
(1):
∵f(x)=x²+ax-lnx,
∴f'(x)=2x+a-1/x=(2x²+ax-1)/x
设h(x)=2x²+ax-1
∵h(x)恒过(0,-1)点，
∴要使f'(x)<0,只需h(x)<在x∈[1,2]上恒成立
∴h(2)=8+2a-1=2a+7<0
解得:a<-7/2
(2)
由题知:g(x)=ax-lnx
∴g'(x)=a-1/x
假设存在a满足题设要求
∴当x∈(0,1/a)时，g(x)单减
当x∈(1/a,e]时，g(x)单增
∴g(x)min=g(1/a)=1-ln1/a=3
解得:a=e²
∴存在a=e²使得当x属于（0，e】（e为自然常数）时，函数g（x）的最小值是3
(3)
由题知,原不等式可化为:e²x²-(5/2)x>x*lnx+lnx
即:(e²x-lnx)>5/2+1/x*lnx
由(2)知当a=e²时,g(x)=e²x-lnx,g(x)min=3
设F(x)=5/2+1/x*lnx,
∴F'(x)=1/x²*(1-lnx)在(0,e]大于0恒成立
∴F(x)在(0,e]上单增
F(x)max=F(e)=5/2+1/e<3
∴当x属于（0，e]时，证明e^2x^2-(5/2)x>(x+1)Inx

Answer 2

1)f'(x)=2x+a-1/x=1/x*(2x^2+ax-1)
在[1,2]上是减函数，则h(x)=2x^2+ax-1=0的两个根分别位于x>=2, 及x<=1的区间上
h(1)=2+a-1=1+a<=0,得：a<=-1
h(2)=8+2a-1=7+2a<=0,得：a<=-7/2
故a<=-7/2
2)g(x)=ax-lnx
g'(x)=a-1/x=0, 得极值点：x=1/a
若a<=0, 则g'(x)<0, 函数单调减，最小值为g(e)=ae-1=3, 得：a=4/e>0, 不符
若a>0, 则极小值点为f(1/a)=1+lna
若1/a<=e, 即a>=1/e, 则有最小值=1+lna=3, 得：a=e^2, 符合
若1/a>e, 即0<a<1/e,则在（0，e]上单调减，由上， 得a=4/e,不符
综合得：a=e^2

3)e^2*x^2-5/2x>xlnx+lnx
x∈(0,e] 两边同除x e^2*x-5/2>lnx+lnx/x
即证e^2x-lnx>lnx/x+5/2
令f(x)=e^2x-lnx f'(x)=e^2-1/x f'(x)=0 x=1/e^2
x∈(0,1/e^2) f'(x)<0 f(x)递减
x∈(1/e^2,e) f'(x)>0 f(x)递增
f(x)最小值为e^2*1/e^2-ln1/e^2=3
令g(x)=lnx/x+5/2
g'(x)=(1-lnx)/x^2 x∈(0,e] g'(x)≥0
g(x)最大值为1/e+5/2<3
f(x)>g(x)在x∈(0,e]上恒成立
所以e^2*x^2-5/2x>xlnx+lnx

Answer 3

(1)解:∵f(x)=x²+ax-lnx,
∴f'(x)=2x+a-1/x=(2x²+ax-1)/x
设h(x)=2x²+ax-1
∵h(x)恒过(0,-1)点，
∴要使f'(x)<0,只需h(x)<在x∈[1,2]上恒成立
∴h(2)=8+2a-1=2a+7<0解得:a<-7/2
(2)解:由题知:g(x)=ax-lnx
∴g'(x)=a-1/x假设存在a满足题设要求
∴当x∈(0,1/a)时，g(x)单减当x∈(1/a,e]时，g(x)单增
∴g(x)min=g(1/a)=1-ln1/a=3解得:a=e²
∴存在a=e²使得当x属于（0，e】（e为自然常数）时，函数g（x）的最小值是3
(3)解:由题知,原不等式可化为:e²x²-(5/2)x>x*lnx+lnx即:(e²x-lnx)>5/2+1/x*lnx
由(2)知当a=e²时,g(x)=e²x-lnx,g(x)min=3设F(x)=5/2+1/x*lnx,
∴F'(x)=1/x²*(1-lnx)在(0,e]大于0恒成立
∴F(x)在(0,e]上单增F(x)max=F(e)=5/2+1/e<3
∴当x属于（0，e]时，e^2x^2-(5/2)x>(x+1)Inx
望采纳~

Answer 4

(1)解:∵f(x)=x�0�5+ax-lnx,∴f'(x)=2x+a-1/x=(2x�0�5+ax-1)/x设h(x)=2x�0�5+ax-1∵h(x)恒过(0,-1)点，∴要使f'(x)<0,只需h(x)<在x∈[1,2]上恒成立∴h(2)=8+2a-1=2a+7<0解得:a<-7/2(2)解:由题知:g(x)=ax-lnx∴g'(x)=a-1/x假设存在a满足题设要求∴当x∈(0,1/a)时，g(x)单减当x∈(1/a,e]时，g(x)单增∴g(x)min=g(1/a)=1-ln1/a=3解得:a=e�0�5∴存在a=e�0�5使得当x属于（0，e】（e为自然常数）时，函数g（x）的最小值是3(3)解:由题知,原不等式可化为:e�0�5x�0�5-(5/2)x>x*lnx+lnx即:(e�0�5x-lnx)>5/2+1/x*lnx由(2)知当a=e�0�5时,g(x)=e�0�5x-lnx,g(x)min=3设F(x)=5/2+1/x*lnx,∴F'(x)=1/x�0�5*(1-lnx)在(0,e]大于0恒成立∴F(x)在(0,e]上单增F(x)max=F(e)=5/2+1/e<3∴当x属于（0，e]时，证明e^2x^2-(5/2)x>(x+1)Inx