Question

设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4，求a,b,c的值

Answer 1

函数y=x³+ax²+bx+c的图像过原点知：c=0
对y求导得：y'=3x²+2ax+b
因在原点相切，可知在x=0 时 y'=0得:b=0
把 b=0带入y的导数得： y'=3x²+2ax
令y'=0得：x=0或x=-2a/3
即当x=0或x=-2a/3函数y达到极值
把x=-2a/3带入函数得：y=（-2a/3）³+a(-2a/3)²=4a³ /27=-4得：a=-3

Answer 2

解：由图可知：f(0)=0,f'(0)=0 即f(0)=c=0

又f'(x)=3x^2+2ax+b
所以f'(0)=b=0

则f(x)=x^3+ax^2，f'(x)=3x^2+2ax

令f'(x)=0得：3x^2+2ax=0
解得：x=0，x=-2a/3

因为函数的极小值为-4
所以f(-2a/3)=(-2a/3)^3+a(-2a/3)^2=-4

-8a^3/27+4a^3/9=-4
a^3=-27
a=-3

综上a=-3，b=c=0

Answer 3

解：由图可知：f(0)=0,f'(0)=0
即f(0)=c=0
又f'(x)=3x^2+2ax+b
所以f'(0)=b=0
则f(x)=x^3+ax^2，f'(x)=3x^2+2ax
令f'(x)=0得：3x^2+2ax=0
解得：x=0，x=-2a/3
因为函数的极小值为-4
所以f(-2a/3)=(-2a/3)^3+a(-2a/3)^2=-4
-8a^3/27+4a^3/9=-4
a^3=-27
a=-3
综上a=-3，b=c=0