Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点 在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平行平行平面A1BE？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴B1C1⊥平面AA1B1B；
∵A1B�6�7平面AA1B1B，∴B1C1⊥A1B． …（2分）
又∵正方形AA1B1B中，A1B⊥AB1，且B1C1、AB1是平面ADC1B1内的相交直线
∴A1B⊥平面ADC1B1．…（4分）
∵A1B�6�7平面A1BE，∴平面ADC1B1⊥平面A1BE．…（6分）
（Ⅱ）当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE．…（7分）
证明如下：
∵△C1D1D中，EF是中位线，∴EF∥C1D且EF= 12C1D，…（9分）
设AB1∩A1B=O，则平行四边形AB1C1D中，B1O∥C1D且B1O= 12C1D，
∴EF∥B1O且EF=B1O，
∴四边形BEF∥B1OEF为平行四边形，B1F∥OE．…（11分）
∵B1F�6�9平面A1BE，OE�6�7平面A1BE，
∴B1F∥平面A1BE