Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n^2an(n属于N*）

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n^2an(n属于N*）（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式（2）证明你的猜想，并求出an的表达式

Answer 1

解:(1)S1=a1=1; S2=a1+a2=2^2×a2=4a2; a2=(1/3)a1=1/3;S2=a1+a2=4/3 S3=a1+a2+a3=3^2×a3=9a3; a1+a2=8a3;a3=(1/8)(4/3)=1/6; S3=a1+a2+a3=1+1/3+1/6=3/2; S4=a1+a2+a3+a4=4^2×a4=16a4; a1+a2+a3=15a4;a4=(1/15)(3/2)=1/10; S4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+1/10=8/5;综上所述,S1=1=2/2,S2=4/3;S3=3/2=6/4;S4=8/5;故猜想Sn=2n/(n+1)(n∈N*)(2)证明如下:S(n)-S(n-1)=a(n)=n^2×a(n)-(n-1)^2×a(n-1)故(n-1)^2×a(n-1)=(n^2-1)×a(n)(n≥2且n∈N*)等式两边约去(n-1)得:(n-1)×a(n-1)=(n+1)×a(n)a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1);采用叠乘法求通项公式:[a(n)/a(n-1)]×[a(n-1)/a(n-2)]×.......×[a(3)/a(2)]×[a(2)/a(1)]=[(n-1)/(n+1)]×[(n-2)/n]×......×(2/4)×(1/3)=[(n-1)×(n-2)×(n-3)×...×2×1]/[(n+1)×n×(n-1)×...×4×3]=2/[n(n+1)](n≥2且n∈N*)(约去交错项)验证a1=1,合乎通项公式故有an=2/[n(n+1)](n∈N*)Sn=2{[1-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+...+[(1/n)-1/(n+1)]}=2[1-1/(n+1)](约去交错项)=2n/(n+1)(n∈N*)由此得证

Answer 2

1.
S1=a1=1
S2=a1+a2=1+a2=2²×a2=4a2
3a2=1
a2=1/3 S2=1+1/3=4/3
S3=a1+a2+a3=1+1/3+a3=4/3 +a3=3²×a3=9a3
8a3=4/3
a3=1/6 S3=1+1/3+1/6=3/2
S4=a1+a2+a3+a4=1+1/3+1/6+a4=3/2 +a4=4²×a4=16a4
15a4=3/2
a4=1/10 S4=1+1/3+1/6+1/10=8/5

S1=1/1=2/2 S2=4/3 S3=3/2=6/4 S4=8/5
猜想：Sn=2n/(n+1)

2.
证：
n=1时，S1=2/2
假设当n=k(k∈N+)时，Sn=2k/(k+1)，则当n=k+1时，
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k/(k+1) +a(k+1)=(k+1)²a(k+1)
[(k+1)²-1]a(k+1)=2k/(k+1)
(k+2)ka(k+1)=2k/(k+1)
a(k+1)=2/[(k+1)(k+2)]
S(k+1)=2k/(k+1) +2/[(k+1)(k+2)]
=[2k(k+2)+2]/[(k+1)(k+2)]
=(2k²+4k+2)/[(k+1)(k+2)]
=2(k+1)²/[(k+1)(k+2)]
=2(k+1)/(k+2)
=2(k+1)/[(k+1)+1]，表达式同样成立。
k为任意正整数，因此对于任意正整数n
Sn=2n/(n+1)

n≥2时，Sn=2n/(n+1) S(n-1)=2(n-1)/(n+1-1)=2(n-1)/n

an=Sn-S(n-1)=2n/(n+1)-2(n-1)/n
=2[n/(n+1) -(n-1)/n]
=2[n²-(n-1)(n+1)]/[n(n+1)]
=2(n²-n²+1)/[n(n+1)]
=2/[n(n+1)]
=2/n -2/(n+1)
n=1时，a1=2/1-2/2=2-1=1，同样满足通项公式。
综上，得数列{an}的通项公式为an=2/n -2/(n+1)。