Question

利用函数的幂级数展开式求。

1。lnx/(1+x)在0到1上的不定积分。
2。ln(1+x)／x 在0到1上的不定积分。
很急额。。最好详细一点。。
有人吗？？可以提高财富值的

Answer 1

这都是定积分.

1. ∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx 其实是个瑕积分, 按定义是lim{ε→0+} ∫{ε,1} ln(x)/(1+x) dx.
由分部积分公式, ∫{ε,1} ln(x)/(1+x) dx = ln(1)ln(2)-ln(ε)ln(1+ε)-∫{ε,1} ln(1+x)/x dx.
当ε→0+, ln(1)ln(2)-ln(ε)ln(1+ε) = -ln(ε)ln(1+ε)收敛到0.
而∫{ε,1} ln(1+x)/x dx收敛到∫{0,1} ln(1+x)/x dx.
因此∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx = -∫{0,1} ln(1+x)/x dx, 问题化为第2问.

2. 在x = 0处幂级数展开ln(1+x) = x-x²/2+x³/3-... = ∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·x^n/n
因此ln(1+x)/x = 1-x/2+x²/3-x³/4+... = ∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·x^(n-1)/n
级数在(-1,1)内闭一致收敛, 可逐项积分.
对0 < a < 1, 有∫{0,a} ln(1+x)/x dx = a-a²/2²+a³/3²-... = ∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·a^n/n².
令a→1-, 可得∫{0,1} ln(1+x)/x dx = 1-1/2²+1/3²-... = ∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·1/n².

如果承认正整数平方倒数和∑{n ≥ 1} 1/n² = π²/6, 那么可以算出∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·1/n².
首先偶数平方倒数和∑{n ≥ 1} 1/(2n)² = (1/4)·∑{n ≥ 1} 1/n² = π²/24.
于是奇数平方倒数和∑{n ≥ 1} 1/(2n-1)² = (∑{n ≥ 1} 1/n²)-(∑{n ≥ 1} 1/(2n)²) = π²/8.
故∑{n ≥ 1} (-1)^(n-1)·1/n² = 奇数平方倒数和-偶数平方倒数和 = π²/12.

∫{0,1} ln(1+x)/x dx = π²/12.
∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx = -π²/12.

Answer 2

2. 在x从 0到1上,ln(1+x)=x-(1/2)x^2 + (1/3)x^3 - (1/4)x^4+...
[ln(1+x)]/x=1-(1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^3+...
∫{[ln(1+x)]/x}dx=∫{1-(1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^3+...}dx=x-(1/4)x^2+(1/9)x^3-(1/16)x^4+...--------(1)

1.设y=1+x,lnx/(1+x)=ln(y-1)/y, 在x从0到1上,即在y从1到2上,
ln(y+1)-ln(y-1)=2[(y^(-1)+(1/3)y^(-3)+(1/5)y^(-5)+...]
ln(y-1)=ln(y+1)-2[(y^(-1)+(1/3)y^(-3)+(1/5)y^(-5)+...]
[ln(y-1)]/y=[ln(y+1)]/y-2[(y^(-2)+(1/3)y^(-4)+(1/5)y^(-6)+...]
∫{[ln(y-1)]/y}dy=∫{[ln(y+1)]/y}dy-∫{2[(y^(-2)+(1/3)y^(-4)+(1/5)y^(-6)+...]}dy
从题2, (1)可知 ∫{[ln(y+1)]/y}dy
∫{[ln(y-1)]/y}dy=∫{[ln(y+1)]/y}dy-2{-y^(-1)-(1/9)y^(-3)-(1/25)y^(-5)-...}
=y-(1/4)y^2+(1/9)y^3-(1/16)y^4+...-2{-y^(-1)-(1/9)y^(-3)-(1/25)y^(-5)-...}

x=y-1,y=1+x,
∫{[ln(x)]/(1+x)}dx=1+x-(1/4)(1+x)^2+(1/9)(1+x)^3-(1/16)(1+x)^4+...+2{(1+x)^(-1)+(1/9)(1+x)^(-3)+(1/25)(1+x)^(-5)-...}

Answer 3

lnx/(1+x)=ln(1+x-1)/(1+x)=ln[1-1/(1+x)]=(-∞,ln1/2)

Answer 4

可以用公式求不，你的是高中还是大学的数学？

Answer 5

其实呢你可以问万能的百度，你懂的，万能的百度一点就通。