Question

高一数学，可能加分

已知α∈(0,π),β∈(0,π),且tanα和tanβ是方程x^2+3√3x+4=0的两个实数根，求：
（1）α+β的值 （2）sin^2(α+β)-2sin(α+β)cos(α+β)-3cos^2(α+β)的值

Answer 1

(1) 由题意得tanα+tanβ= -3√3，tanαtanβ=4，
所以，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=√3，
由tanα+tanβ= -3√3<0，tanαtanβ=4>0，得tanα<0，tanβ<0，
又α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以，α∈(π/2，π)，β∈(π/2，π)，
从而(α+β)∈(π，2π)，而tan(α+β)=√3，故α+β=4π/3。
(2) 由(1) 知α+β=4π/3，所以sin(α+β)= -√3/2，cos(α+β)= -1/2，
故原式=3/4 -√3/2 -3/4= -√3/2。

Answer 2