Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连接CE、AF

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连接CE、AF（1）求证：四边形AECF是菱形（2）若EF=4，OE／OA=2／5，求四边形AECF的面积。

Answer 1

CD∥AB,则△OFC和△OEA相似，O为AC的中点，AO=OC.所以两个三角形全等，得到OF=OE,对角线垂直且互相平分，所以AECF为菱形。OE/OA=2/5,OE=EF/2=2OA=5直角三角形OAE的面积=2*5/2=5菱形AECF的面积=5*4=20

Answer 2

(1)证明：
方法1：
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2．
在△CFO和△AEO中，∠1=∠2∠FOC=∠EOAOC=OA
∴△CFO≌△AEO．
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．

方法2：证△AEO≌△CFO同方法1，
∴CF=AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵OA=OC，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF=4，
∴OE=1/2EF=1/2×4=2．
在Rt△AEO中，
∵tan∠OAE=OEOA=25，
∴OA=5，
∴AC=2AO=2×5=10．
∴S菱形AECF=1/2EF•AC=1/2×4×10=20．

Answer 3

证明：（1）因为EF平分AC，且EF⊥AC，所以四边形AECF为菱形。（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（2）因为EF=4，OE／OA=2／5，所以ＯＡ＝５，ＡＣ＝１０Ｓ◇ａｅｃｆ＝（ＡＣ＊ＥＦ）／２＝（１０＊５）／２＝２５