Question

已知数列{2的n-1次方再乘an}的前n项和Sn=9-6n

(1)求数列{an}的通项公式
(2)设bn=n(3-log2┃an┃/3,求数列{1/bn的前n项和

Answer 1

解：
1.
n=1时，2^(1-1)×a1=a1=S1=9-6=3
a1=3
n≥2时，
1×a1+2×a2+2²×a3+...+2^(n-1) ×an=Sn=9-6n (1)
1×a1+2×a2+2²×a3+...+2^(n-2) ×a(n-1)=S(n-1)=9-6(n-1)=15-6n (2)
(1)-(2)
2^(n-1)×an=-6
an=-6/2^(n-1)=-3/2^(n-2)
n=1时，a1=-3/2^(1-2)=-6≠3
数列{an}的通项公式为
an=3 n=1
-3/2^(n-2) n≥2
2.
bn=n[3-log2(|an|/3)]
n=1时，b1=1×[3-log2(3/3)]=1×[3-log2(1)]=1×(3-0)=1×3=3
n≥2时，bn=n×[3-log2[3/2^(n-2) /3] ]=n×[3-(2-n)]=n(n+1)=
1/bn=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
n=1时，T1=1/b1=1/3
n≥2时，Tn=1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn
=1/3 +1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)
=5/6 -1/(n+1)
n=1时，T1=5/6 -1/(1+1)=5/6 -1/2=1/3，同样满足表达式。
综上，得数列{1/bn}前n项和Tn=5/6 -1/(n+1)。

Answer 2

(1)n=1时,a1=S1=3,n≥2时,2^(n-1)*an=Sn-S(n-1)=-6,an=-12/2^n故an=3...(n=1时) -12/2^n.....(n≥2时)(2)b1=3,n≥2时,bn=n(3-log2(12/3*2^n)=n(n+1)即1/bn的前n项和为Tn则T1=1/b1=1/3n≥2时,Tn=1/b1+...+1/bn=1/3+1/(2*3)+...+1/[n(n+1)]=1/3+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)]=5/6-1/(n+1),n=1时也满足故Tn=5/6-1/(n+1)